【解答速報】2015年　開成中学校　算数（解説つき）大問３

（2016年2月1日更新：2016年度開成中算数の解答・解説速報も作成しました→2016年度開成中算数　解答速報　解説つき）

（問題はこちら→四谷大塚さんのサイトです）

【３】
速さの問題。
やること自体は明快で、何ら難しくはない。しかし…
開成お得意の「受験生疑心暗鬼系」悪答問題である。
計算に時間がかかる上、無駄に数字が汚くなり、己に自信がないと非常に不安になる。
特に本問は、万が一（１）を間違えるとそれ以降全滅する可能性大。恐ろしすぎる。
考え方に工夫の余地はあるが、決して難しくないので、できることなら全問正解しておきたいところ。
ミスる受験生もそれなりの数いると思われるので、全問正解によりアドバンテージを握れる問題なのではないだろうか。

なおこの問題は、開成の中学校舎周囲のランニングコース、通称「幼稚園コース」をモチーフにした問題だと思われる。実際にはもう少し距離が長く、道もクネクネしているが、まさにこんな形状のコースなのである。
D→Cを全力で駆け上がるのを通称「坂ダッシュ」と呼び、その昔、腿がパンパンになるまでやったなあ…
作問者の遊び心を感じて、思わずニンマリしてしまった。

…どうでもよいことを語ってしまった。では解説に移ります。

※帯分数の表記について
→例えば1 4/5（１と５分の４）は、1(4/5)と表記します

（１）各区間でのそれぞれの速さを正しく把握すれば、数字は汚いがやることは5年生レベル。
この問題は（２）以降の前提ともなるので、念には念を入れてその場で２、３回見直してもよいだろう。正確な計算を心がけたい。

ゆう君　A→B→C→D→A　と一周する。
各区間の所要時間は、順に10/7、1、12/7、2（すべて単位は分）

まさひろ君　D→C→B→A→D　と一周する。
各区間の所要時間は、順に2、1、20/21、2（すべて単位は分）

それぞれ合計して、
ゆう君　6(1/7)分　　まさひろ君　5(20/21)分

（２）上に書いた所要時間から、BC上に先に来るのはゆう君とわかる。
後から来るまさひろ君がCに着いた時、ゆう君がどこにいるかを考え、あとは出会い算。やることは非常にシンプル。

スタートして2分後にまさひろ君はCに来るが、その時ゆう君はBを通過してさらに
2－10/7＝4/7（分）　だけ進んでいるので、分速の100mをかけて、BC上を
400/7m進んでいることがわかる。
その時、　100－400/7＝300/7（m）　が2人の間の距離。
そこからの出会い算は2人とも同じ速さで進むので、ちょうど中間地点で出会う→あと150/7m
つまり、Bからは　400/7＋150/7＝550/7＝78(4/7)（m）の場所で出会う（すれ違う）とわかる。

（３）計算を楽にするため、考え方を少し工夫したい。
1周にかかる時間はまさひろ君の方が
6(1/7)－5(20/21)＝4/21（分）短い。
それはつまり、（２）の後にまさひろ君が1周して再び同じ地点（Bから78(4/7)mの地点）に戻ってきた時、ゆう君はその地点まであと4/21分かかるということで、要は　100×4/21＝400/21（m）の距離を残していることになる。

その状態から、2人が同じ速さで出会い算をするので、ちょうど中間地点である200/21mずつ進んだ場所で出会う。
この200/21mこそが、（２）で求めた場所からずれた距離である。もちろん方向はBの方向に。
B地点のほうへ200/21＝9(11/21)mずれた場所　が答えとなる。

（４）前2問からの流れで考える。
Bから550/7mの場所でまず出会い、そこから出会いのたびに200/21mずつB方向にずれていくので、
550/7÷200/21＝33/4＝8(1/4)
つまり1回目の出会いの後、B方向に少しずつずれながらBC上で8回出会い（BC上で合計9回出会い）、その次についにBC上を外れる（＝AB上に出会いの場が移る）ことになる。
ということで、9回目の次だから…と、答えを　9＋1＝10（回目）　…としてはならない。
図でいう「上側のゾーン」、要はBC上やその付近では10回目の出会いだが、実は1周するたびに毎回「下側のゾーン」でも出会っていることを忘れてはならない。

スタートから順に、　上、下、上、下、上…　と交互に出会っているはずなので、上で10回出会う間に下では9回出会う。

よって答えは　10＋9＝19（回目）　にすれ違うとき、となる。

また、場所は、まさひろ君が10回目にB地点に来るときにゆう君がどこにいるかを考え、あとは出会い算で解けばよい。

まさひろ君が10回目にB地点に来るとき　→　スタートから　5(20/21)×9＋2＋1＝396/7（分後）（9周＋D→C→B）
ゆう君が9周してAに来るとき　→　スタートから　6(1/7)×9＝387/7（分後）
396/7－387/7＝9/7（分）だけゆう君を進ませると、84×9/7＝108（m）進むことがわかるので、
まさひろ君が10回目にB地点に来たとき、ゆう君との距離は120－108＝12（m）とわかる。

最後の出会い算は、　速さの比＝同じ時間で進む距離の比　で考えて、無駄な計算はしないように。
AB上での速さは、
まさひろ：ゆう＝126：84＝3：2　なので、Bから
12×3/5＝7(1/5)（m）の場所で出会うことが求まる。