【解答速報】2014年 開成中学校 算数（解説つき）大問４
こんにちは！ 下高井戸・久我山・西永福の個別指導塾TESTEA（テスティー）塾長、繁田和貴です。
平成26年度の開成中算数、解説其の３（大問４）です。
＜以下、解説です＞
【４】論理的な思考力が求められる「数の問題」。これも開成の好きなパターン。2.5～3問は正解したいところ。
（１）1～8の合計が36。正八面体を上半分と下半分にわければ、18ずつ。以上。
（２）日本語をどう書くかが難しい。
要は、
・Cに集まる4枚も18、Dに集まる4枚も18 ・Cに集まる4枚のうちの2枚と、Dに集まる4枚のうちの2枚が共有されている（△ACDと△FDC） ・だから残りの2枚同士（この問題で聞かれている「BCを1辺とする2枚」と「DEを1辺とする2枚」）は、合計が等しくなる
ということなのだが、これをこの解答欄に埋めるにはどうすればいいか悩む。 なので とりあえずインターエデュさんの解答に任せて、箇条書きで逃げてみました。笑
（３）8を各面に置いてみたときに、条件に合うような数字の配置ができるか実際に調べるのがよいだろう。 ただし、7通りも調べてはいけない。 ①1が書かれている△ABCに対し、△ACDと△AEBと△FCBの3面は同じ位置関係にあるので（辺を共有）、△ACDで成立することがわかれば同時に△AEBと△FCBでも成立するとわかる。 ②同様に、△ABCに対し、△ADEと△BEFと△CFDの3面も同じ位置関係にあるので（頂点のみ共有）、1つで成立すれば3つとも成立するとわかる。 ③真向かいにある△FDEだけは個別に調べる。 というわけで、①、②、③の3通り調べればOK。
ここで（２）を活かしましょう。 まず②のパターンだが、△ADEに8が来ると、△ABC＝1 △ADE＝8より、この2枚で7の差がついてしまう。 （２）より、△ABC＋△FCB は △ADE＋△FDE と等しいので、この差を挽回するには△FCBは△FDEより7大きくならなくてはいけない。 しかし1～8だと最大差でも7で、1と8がすでに使用されている以上それは不可能。 よって△ADEに8が来ることはありえず、②のパターンが消える。
同様に、③のパターンも消える（（２）でいう「辺DEチーム」の△FDEについても、△ADEと同じことがいえるのは明らか）。
よって①しか残らず、これについては各頂点に集まる面が18になるよう適当に配置して探してみるのが実戦的だろう。 代表して△ACDに8を置いた1パターンだけ調べればよいのだから、それほど苦労せずに成立するパターンを見つけられるはずだ。 ※もちろん論理的に考えつつ調べる。 例えば△AEBと△ADEの和は9になるわけだが、△AEBに2や3を置いたらその時点で手詰まり（△FCBと△FBEに置ける数字の組がなくなる）、だから△AEBは4かな…のように。
結局、△ACDと△AEBと△FCBに8がある時のみ成立することがわかる。
（４）最後の問題だが意外と簡単。（３）ができなくても解けるし、（３）より簡単かも。 まずは与えられた立体の図に、△ABCを1として1～3まで書き込む。先に展開図に頂点を打っておくことで、2と3の場所を容易に特定できる。 ※△ABCから始めて、辺を挟んだ向こう側の三角形に頂点をどんどん書き加えていけばよい（例えば、辺ACを挟んでBの向こうはD、みたいに）。正八面体の頂点打ちの基本です。
すると、△ABCが1なら、△ADEが2で△FBEが3とわかる。
△ABCが1で△ADEが2となった時点で、 頂点A周りの残り2枚△ACDと△AEBの和が15→7と8の組で確定 となるので、 あとはどちらが7でどちらが8かを調べれば、△ACD＝7、△AEB＝8のときに成立することがわかる。 残りの面も自動的に決まる。
展開図に頂点が書いてあるので、数字の向きは頭をAとFに向けるだけで難しくない。
